미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 4}{5 x}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y - 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

단계 1.2

$y - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y - 4} d y = \frac{1}{5 x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = y - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = y - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y - 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 2.2.1.1.4

$- 4$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $y - 4$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y - 4 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $\ln (| x |)$ 을 묶습니다.

$\ln (| y - 4 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

단계 3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y - 4 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (| y - 4 |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y - 4 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\ln (| y - 4 |)$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

단계 3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

단계 3.5

$\ln (| y - 4 |)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

단계 3.6

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1.1

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (| y - 4 |)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({| y - 4 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

단계 3.6.1.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

단계 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5}$ 을 $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}) = C$

단계 3.6.1.3

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({(\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

단계 3.6.1.4

$\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{{({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

단계 3.6.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1

${({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

단계 3.6.1.5.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

단계 3.6.1.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

단계 3.6.1.5.2

간단히 합니다.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

단계 3.7

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

단계 3.8

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

단계 3.9

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

단계 3.9.2

양변에 ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

단계 3.9.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.1

${| x |}^{\frac{1}{5}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

단계 3.9.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y - 4 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

단계 3.9.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.4.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y - 4 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

단계 3.9.4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$