미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{4}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4} y^{2}$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x}{4} y^{2})$

단계 1.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{x}{4} y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{4})$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{4})$

단계 1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x}{4} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x}{4} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{8} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{8}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{8} + K$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 8, 1$

단계 3.2.2

$y, 8, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 8, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 3.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.5

$8$ 의 소인수는 $2 \cdot 2 \cdot 2$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$8$ 의 인수는 $2$ 와 $4$ 입니다.

$2 \cdot 4$

단계 3.2.5.2

$4$ 의 인수는 $2$ 와 $2$ 입니다.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

단계 3.2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.7

$1, 8, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

단계 3.2.8

$2 \cdot 2 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cdot 2$

단계 3.2.8.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8$

단계 3.2.9

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.2.10

$y^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y$

단계 3.2.11

$y, 8, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $8$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$8 y$

단계 3.3

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{8} + K$ 의 각 항에 $8 y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{8} + K$ 의 각 항에 $8 y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} (8 y) = \frac{x^{2}}{8} (8 y) + K (8 y)$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} (8 y) = \frac{x^{2}}{8} (8 y) + K (8 y)$

단계 3.3.2.1.2

$8 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 8) = \frac{x^{2}}{8} (8 y) + K (8 y)$

단계 3.3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 8) = \frac{x^{2}}{8} (8 y) + K (8 y)$

단계 3.3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 8 = \frac{x^{2}}{8} (8 y) + K (8 y)$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 = \frac{x^{2}}{8} (8 y) + K (8 y)$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 8 = 8 \frac{x^{2}}{8} y + K (8 y)$

단계 3.3.3.1.2

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 8 = 8 \frac{x^{2}}{8} y + K (8 y)$

단계 3.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 8 = x^{2} y + K (8 y)$

단계 3.3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 8 = x^{2} y + 8 K y$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x^{2} y + 8 K y = - 8$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} y + 8 K y = - 8$

단계 3.4.2

$x^{2} y + 8 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y x^{2} + 8 K y = - 8$

단계 3.4.2.2

$8 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y x^{2} + y (8 K) = - 8$

단계 3.4.2.3

$y x^{2} + y (8 K)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x^{2} + 8 K) = - 8$

단계 3.4.3

$y (x^{2} + 8 K) = - 8$ 의 각 항을 $x^{2} + 8 K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y (x^{2} + 8 K) = - 8$ 의 각 항을 $x^{2} + 8 K$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x^{2} + 8 K)}{x^{2} + 8 K} = \frac{- 8}{x^{2} + 8 K}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$x^{2} + 8 K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x^{2} + 8 K)}{x^{2} + 8 K} = \frac{- 8}{x^{2} + 8 K}$

단계 3.4.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 8}{x^{2} + 8 K}$

단계 3.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{8}{x^{2} + 8 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{8}{x^{2} + K}$