미적분 예제

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

단계 2

$N (x, y) = 2 x + 1 - x y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 1 - x y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1 - x y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

단계 2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \cdot 1$

단계 2.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - y$

단계 2.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 2$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- y + 2$ 을 대입합니다.

$1 = - y + 2$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$1 = - y + 2$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- y + 2$ 를 대입합니다.

$\frac{- y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{- y + 2 - 1}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$\frac{- y + 2 - 1}{y}$

단계 4.3.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- y + 1}{y}$

단계 4.3.3

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (y) + 1}{y}$

단계 4.3.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{y}$

단계 4.3.5

$- (y) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (y - 1)}{y}$

단계 4.3.6

$- (y - 1)$ 을 $- 1 (y - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (y - 1)}{y}$

단계 4.3.7

$M$ 에 $y$ 를 대입합니다.

$- \frac{y - 1}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{y - 1}{y} d y}$

단계 5.2

$y - 1$ 을 $y$ 로 나눕니다.

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단계 5.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$0$

$y$

$1$

단계 5.2.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$1$

단계 5.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$0$

단계 5.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$

단계 5.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$
					-	$1$

단계 5.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$μ (x, y) = e^{- \int 1 - \frac{1}{y} d y}$

단계 5.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$μ (x, y) = e^{- (\int d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.4

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{- (y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.6

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (y + C - (\ln (| y |) + C))}$

단계 5.7

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- y + \ln (| y |)} + C$

단계 6

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{- y + \ln (y)}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y$ 에 $e^{- y + \ln (y)}$ 을 곱합니다.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

단계 6.2

$2 x + 1 - x y$ 에 $e^{- y + \ln (y)}$ 을 곱합니다.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) e^{- y + \ln (y)} d y = 0$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + 1 e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

단계 6.4

$e^{- y + \ln (y)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y e^{- y + \ln (y)} d x$

단계 8

$M (x, y) = y e^{- y + \ln (y)}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y e^{- y + \ln (y)} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.2

$f (y) = y$ , $g (y) = e^{- y + \ln (y)}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y + \ln (y)}] + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.3

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = - y + \ln (y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- y + \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.3.3

$u$ 를 모두 $- y + \ln (y)$ 로 바꿉니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.4

합의 법칙에 의해 $- y + \ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ 가 됩니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.7

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.3.10

$e^{- y + \ln (y)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y}))) + x e^{- y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y (- 1 + \frac{1}{y}) + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y \cdot - 1 + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.3.2

$e^{- y + \ln (y)} x y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.5.3.3.1

$e^{- y + \ln (y)} x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.3.4

$- 1 (e^{- y + \ln (y)} x y)$ 을 $- (e^{- y + \ln (y)} x y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.4

$e^{- y + \ln (y)} x$ 를 $e^{- y + \ln (y)} x$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 11.5.5

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 12.1.2

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

$2 x e^{- y + \ln (y)}$ 에서 $2 x e^{- y + \ln (y)}$ 을 뺍니다.

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 0 - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 12.1.2.2

$- x y e^{- y + \ln (y)}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x y e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 12.1.2.3

$- x y e^{- y + \ln (y)}$ 를 $x y e^{- y + \ln (y)}$ 에 더합니다.

$0 - e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 12.1.2.4

$0$ 에서 $e^{- y + \ln (y)}$ 을 뺍니다.

$- e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

단계 12.1.3

$\frac{d g}{d y}$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

단계 12.1.4

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 12.1.4.1

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

단계 12.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 12.1.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

단계 12.1.4.2.2

$\frac{d g}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

단계 12.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{1}$

단계 12.1.4.3.2

$e^{- y + \ln (y)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

단계 13

$e^{- y + \ln (y)}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

단계 13.3

$\int e^{- y + \ln (y)} d y$ 을 $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

단계 13.4

$e^{\ln (y)}$ 을 $y$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = \int e^{- y} y d y$

단계 13.5

$u = y$ 이고 $d v = e^{- y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

단계 13.6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

단계 13.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

단계 13.7.2

$\int e^{- y} d y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

단계 13.8

먼저 $u = - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.8.1

$u = - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.8.1.1

$- y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- y]$

단계 13.8.1.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [y]$

단계 13.8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 13.8.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 13.8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

단계 13.9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

단계 13.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$g (y) = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

단계 13.11

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ 을 $- y e^{- y} - e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - y e^{- y} - e^{u} + C$

단계 13.12

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$g (y) = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

단계 14

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$

단계 15

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y x e^{- y + \ln (y)} - y e^{- y} - e^{- y} + C$