미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

단계 1.2

$\sec^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ 을 ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.3

$\sec (y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.4

$\frac{1}{\cos (y)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.1.5

$\cos (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.2

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (y)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.6

먼저 $u = 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.2.6.1

$u = 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 2.2.6.1.1

$2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

단계 2.2.6.1.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.2.6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2.6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.7

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.9

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.10

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.11

$u$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.12

간단히 합니다.

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단계 2.2.12.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 y)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.12.3

$\frac{1}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.12.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.12.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 y)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.12.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.2.13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{4}$ 입니다.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$