미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4} - \frac{1}{3} y$

단계 1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) y^{4} - \frac{1}{3} y$

단계 1.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{3} y$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) y^{4}$

단계 1.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) y^{4}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{4}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 3}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{- \frac{1}{3}}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{- \frac{1}{3}}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

단계 5.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

단계 5.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

단계 5.4.2

${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.1

$v^{\frac{1}{3}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.4.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.4.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.5

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.5.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.5.3

$u$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.11

$\frac{1}{3}$ 와 $v^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.13

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.14

$\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 와 $v'$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.15

$\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

단계 5.16

$\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 에 $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

단계 5.17

지수를 더하여 $v^{\frac{2}{3}}$ 에 $v^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.17.1

$v^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

단계 5.17.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

단계 5.17.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

단계 5.17.4

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) y^{4}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- \frac{1}{3}}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 의 각 항에 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 의 각 항에 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1

$3 v^{\frac{4}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.1.2

$- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 에서 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{1}{3}}$ 에 $v^{\frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.4.1

$v^{\frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.4.4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.4.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.5

$\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.6

$\frac{1}{3}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.7.1

$- 1 \cdot (3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.8

$v$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.2.1.9

$- 1 v$ 을 $- v$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (\frac{1}{3}) x + 1 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

단계 7.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (3 (\frac{1}{3}) x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (3 (\frac{1}{3}) x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (3 (\frac{1}{3}) x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (1 x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (x + \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 3 (\frac{1}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.3.2.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x + 3 (- 1) \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3.3

${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3.3.2

$- \frac{1}{3} \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.3.3.2.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3.3.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{4}{3}}$ 에 $v^{\frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.4.1

$v^{\frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

단계 7.1.3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

단계 7.1.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

단계 7.1.3.4.4

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{\frac{0}{3}}$

단계 7.1.3.4.5

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 x - 1) v^{0}$

단계 7.1.3.5

$(- 3 x - 1) v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

단계 7.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 7.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C}$

단계 7.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 7.3

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

단계 7.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

단계 7.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

단계 7.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

단계 7.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

단계 7.3.4

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

단계 7.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

단계 7.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

단계 7.6

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

단계 7.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.2

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.3

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.5.2

$\int e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.6

먼저 $u_{1} = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = - d x$ 이므로 $- d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.6.1

$u_{1} = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.6.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 7.7.6.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.7.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 7.7.6.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 7.7.6.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.7

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.8

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

단계 7.7.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

단계 7.7.10

먼저 $u_{2} = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - d x$ 이므로 $- d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.10.1

$u_{2} = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.10.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 7.7.10.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.7.10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 7.7.10.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 7.7.10.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 7.7.11

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 7.7.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 7.7.12.2

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 7.7.13

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

단계 7.7.14

간단히 합니다.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

단계 7.7.15

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.15.1

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

단계 7.7.15.2

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

단계 7.8

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.8.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

단계 7.8.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

단계 7.8.3.2.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

단계 7.8.3.2.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

단계 7.8.3.3

$3 e^{- x}$ 를 $e^{- x}$ 에 더합니다.

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

단계 8

$v$ 에 $y^{- 3}$ 를 대입합니다.

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$