미적분 예제

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x + 3 y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 y]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

단계 1.2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

단계 1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

단계 1.4

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

단계 2

$N (x, y) = - x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

단계 2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$3 = - 1$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$3 = - 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$\frac{3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$\frac{3 + 1}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $- x$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $- x$ 를 대입합니다.

$\frac{3 + 1}{- x}$

단계 4.3.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{- x}$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

단계 5.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 5.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 5.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

단계 5.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{- 4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

단계 5.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

단계 6

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{4}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x + 3 y$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$(x + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x - x d y = 0$

단계 6.2

$x + 3 y$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x d y = 0$

단계 6.3

$- x$ 에 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

단계 6.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

단계 6.4.2

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

단계 6.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

단계 6.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x^{3}} d y$

단계 8

$N (x, y) = - \frac{1}{x^{3}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y + C$

단계 8.2

$y$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $- \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{y}{x^{3}}$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.3.8

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 y x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$3 y x^{- 4} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 y \frac{1}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.5.2

항을 묶습니다.

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단계 11.5.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$y \frac{3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.5.2.2

$y$ 와 $\frac{3}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.5.2.3

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 11.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{x + 3 y}{x^{4}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} - \frac{x + 3 y}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - (x + 3 y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - (3 y)}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.1.3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - 3 y}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.1.4

$3 y - x - 3 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.1.4.1

$3 y$ 에서 $3 y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.1.4.2

$- x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.5.1

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.1.5.1.1

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

단계 12.1.1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.1.5.1.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

단계 12.1.1.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

단계 12.1.1.5.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

단계 12.1.1.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{x^{3}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

단계 13

$\frac{1}{x^{3}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 13.3

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 13.4

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 13.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 13.4.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

단계 13.5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

단계 13.6

답을 간단히 합니다.

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단계 13.6.1

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ 을 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

단계 13.6.2

간단히 합니다.

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단계 13.6.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

단계 13.6.2.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

단계 13.6.2.3

$2$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 14

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$