미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2} + 2 x$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 2$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{2 x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

단계 2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

단계 2.4

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.2

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.3.2

$x^{2}$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.4

$\frac{1}{2} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.5

간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.5.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.6

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.7

간단히 합니다.

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단계 6.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.7.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.8

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.9

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.9.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.9.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.9.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.9.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.10

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.11

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.12

간단히 합니다.

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단계 6.12.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.12.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.13

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

단계 6.14

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 \int x e^{2 x} d x$

단계 6.15

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.16

간단히 합니다.

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단계 6.16.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.16.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.16.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

단계 6.17

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

단계 6.18

먼저 $u_{2} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.18.1

$u_{2} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.18.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.18.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.18.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.18.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.18.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 6.19

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

단계 6.20

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

단계 6.21

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.21.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 6.21.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 6.22

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

단계 6.23

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.23.1

간단히 합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

단계 6.23.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.23.2.1

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

단계 6.23.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 6.23.2.3

$2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 6.23.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 6.23.2.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

단계 6.24

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.24.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

단계 6.24.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 6.25

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.25.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 6.25.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.25.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 6.25.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 6.25.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 6.25.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.25.3.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

단계 6.25.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

단계 6.25.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

단계 6.26

항을 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

단계 7

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x}) + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

단계 7.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

단계 7.1.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

단계 7.1.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.2.1

$2 x e^{2 x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

단계 7.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

단계 7.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

단계 7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.3

$x e^{2 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.4

$e^{2 x} x$ 에서 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.1

$e^{2 x}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x e^{2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.4.3

$x e^{2 x}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.6

$x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.7

$x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.7.1

$x^{2} e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.7.2

$2 x e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

단계 7.1.7.3

$- e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

단계 7.1.7.4

$e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

단계 7.1.7.5

$e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

단계 7.1.8

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{x}{2} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

단계 7.1.9

$e^{2 x}$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

단계 7.2

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.2.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.2.2.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.2.3

$- 1 e^{2 x}$ 을 $- e^{2 x}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.3

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.3.1

$- e^{2 x} x$ 를 $2 e^{2 x} x$ 에 더합니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{1 e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.3.2.1

$e^{2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.3.2.2

$e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.4.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.4.2.1

$x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.4.2.1.1

$x e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.4.2.1.2

$x^{2} e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.4.2.1.3

$- e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.4.2.1.4

$e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.4.2.1.5

$e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2} - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.4.2.2

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.6.1

$\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.8.1

$e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.8.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.1.2

$e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.1.3

$e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + (x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + x^{2} \cdot 2 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.8.3.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.4

$2$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 x^{2} + 2 x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.8.5

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.10

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.10.1

$C$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{C \cdot 4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.10.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{C \cdot 4 + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.11.1

$C$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = \frac{\frac{4 \cdot C + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\frac{4 C + e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.11.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.11.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.11.3.3

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.11.4

각 항을 간단히 합니다.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.12

$\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.13

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

단계 7.2.3.14

$\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}$ 에 $\frac{1}{e^{2 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4 e^{2 x}}$