미적분 예제

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ 의 각 항을 $x e^{- t}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ 의 각 항을 $x e^{- t}$ 로 나눕니다.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

단계 1.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

단계 1.1.2.2

$e^{- t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

단계 1.1.2.2.2

$\frac{d x}{d t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 1.3

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

조합합니다.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

단계 1.4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$e^{- t} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

단계 1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

단계 1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

단계 1.4.3

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$e^{- t}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

단계 2.3.1.2

${(e^{- t})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

단계 2.3.1.2.2

$- t \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

단계 2.3.1.2.2.2

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.3.2

$u = t$ 이고 $d v = e^{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

단계 2.3.3

$e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $e^{t}$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

단계 2.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

단계 3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

단계 3.4

$2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 t e^{t}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

단계 3.4.2

$- 2 e^{t}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

단계 3.4.3

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

단계 3.4.4

$2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

단계 3.4.5

$2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

단계 4

$x$ 가 초기 조건 $(0, 1)$ 에서 양수이므로 $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ 만 고려하여 $K$ 를 구합니다. $t$ 에 $0$ 를 대입하고 $x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

단계 5.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

단계 5.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ 을(를) ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.2.2

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.2.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.3

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.3.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

단계 5.3.2.1.3.3.2

간단히 합니다.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 2 + 2 K = 1$

단계 5.4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$2 K = 1 + 2$

단계 5.4.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 K = 3$

단계 5.4.2

$2 K = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2 K = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

단계 5.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

단계 5.4.2.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{3}{2}$

단계 6

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ 의 $K$ 에 $\frac{3}{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$K$ 에 $\frac{3}{2}$ 를 대입합니다.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

단계 6.2

항을 다시 정렬합니다.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

단계 6.3

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{t} t$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

단계 6.4

$e^{t} t$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

단계 6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

단계 6.6

$e^{t} t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

단계 6.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- e^{t}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

단계 6.8

$- e^{t}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

단계 6.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

단계 6.10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

단계 6.11

$2$ 와 $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

단계 6.12

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.12.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.12.1.1

공약수로 약분합니다.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

단계 6.12.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

단계 6.12.2

$2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

단계 6.13

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$