미적분 예제

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $3 x y + 3 y - 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$3 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x y$ 의 미분은 $3 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [3 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 1.4.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 4$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

단계 1.5.2

$3 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

단계 2

$N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

단계 2.2

${(x + 1)}^{2}$ 을 $(x + 1) (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

단계 2.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

단계 2.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

단계 2.4.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

단계 2.4.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

단계 2.4.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

단계 2.4.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.7

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.9

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

단계 2.11

$2 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 x + 3$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x + 2$ 을 대입합니다.

$3 x + 3 = 2 x + 2$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$3 x + 3 = 2 x + 2$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 x + 3$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x + 2$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 ${(x + 1)}^{2}$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 ${(x + 1)}^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2.4

$3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2.5

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.3

$x + 1$ 및 ${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.2.1

${(x + 1)}^{2}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

단계 4.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

단계 4.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x + 1}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 5.1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

단계 5.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

단계 5.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

단계 5.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = | u | + C$

단계 5.5

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

단계 6

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $x + 1$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$3 x y + 3 y - 4$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.2

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ 를 전개합니다.

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.3.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.3.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.3.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.4

$3 x y$ 를 $3 y x$ 에 더합니다.

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단계 6.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.4.2

$3 x y$ 를 $3 x y$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

단계 6.5

${(x + 1)}^{2}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

단계 6.6

지수를 더하여 ${(x + 1)}^{2}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.1

${(x + 1)}^{2}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.1.1

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

단계 6.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

단계 6.6.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

단계 6.7

이항정리 이용

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

단계 6.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.8.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

단계 6.8.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

단계 6.8.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

단계 6.8.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

단계 8

$N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.6

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.9

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.3.11

$3 x^{2} + 6 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.5

간단히 합니다.

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단계 11.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.5.2

항을 묶습니다.

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단계 11.5.2.1

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.5.2.2

$y$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.5.2.3

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 11.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2} y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $6 x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

단계 12.1.3

방정식의 양변에서 $3 y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

단계 12.1.4

$3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.4.1

$3 x^{2} y$ 에서 $3 x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

단계 12.1.4.2

$6 x y + 3 y - 4 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

단계 12.1.4.3

$6 x y$ 에서 $6 x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

단계 12.1.4.4

$3 y - 4 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

단계 12.1.4.5

$3 y$ 에서 $3 y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

단계 12.1.4.6

$- 4 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

단계 13

$- 4 x - 4$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

단계 13.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

단계 13.4

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

단계 13.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

단계 13.6

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

단계 13.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

단계 13.8

간단히 합니다.

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

단계 14

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

단계 15.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$