미적분 예제

$(3 x^{2} + 6 x y^{2}) d x + (6 x^{2} y + 4 y^{3}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 6 x y^{2}]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 6 x y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

단계 1.2.2

$3 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3 x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$6 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $6 x y^{2}$ 의 미분은 $6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x (2 y)$

단계 1.3.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 12 x y$

단계 1.4

$0$ 를 $12 x y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x y$

단계 2

$N (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y + 4 y^{3}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} y + 4 y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$6 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2} y$ 의 미분은 $6 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

단계 2.4

$4 y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 y^{3}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + 0$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$12 y x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x$

단계 2.5.2

$12 y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $12 x y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $12 x y$ 을 대입합니다.

$12 x y = 12 x y$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$12 x y = 12 x y$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 6 x y^{2} d x$

단계 5

$M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

단계 5.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x y^{2} d x$

단계 5.4

$6 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6 y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} \int x d x$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.7

간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.4

$6$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{6}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.5

$y^{2}$ 와 $\frac{6}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.7

$6$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 y^{2}}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.8

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.8.1

$6 y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2} x^{2} + C$

단계 5.7.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 (1)} x^{2} + C$

단계 5.7.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

단계 5.7.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{1} x^{2} + C$

단계 5.7.8.2.4

$3 y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.2

미분합니다.

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단계 8.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.2.2

$x^{3}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{3}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$3 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y^{2} x^{2}$ 의 미분은 $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$0$ 를 $6 x^{2} y$ 에 더합니다.

$6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 6 x^{2} y = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $6 x^{2} y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$

단계 9.1.2

$6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$6 x^{2} y$ 에서 $6 x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

단계 9.1.2.2

$4 y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

단계 10

$4 y^{3}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

단계 10.3

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

단계 10.5

답을 간단히 합니다.

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단계 10.5.1

$4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ 을 $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

단계 10.5.2

간단히 합니다.

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단계 10.5.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

단계 10.5.2.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

단계 10.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

단계 10.5.2.3

$y^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = y^{4} + C$

단계 11

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + y^{4} + C$