미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

단계 3.2.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

단계 3.2.2.1.1.3

조합합니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

단계 3.2.2.1.1.4

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.5.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.1.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.2.1

$- \frac{x}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

단계 3.4.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

단계 3.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

단계 3.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$x^{2} - x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

단계 3.4.3.1.2

$- x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

단계 3.4.3.1.3

$x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

단계 3.4.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

단계 3.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $3 K$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.4.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$3 K$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.6.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.6.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

단계 3.4.7

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

단계 3.4.8

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.4.9

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.4.9.2

$\sqrt[3]{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.4.9.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

단계 3.4.9.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

단계 3.4.9.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.4.9.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.4.9.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.9.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.9.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

단계 3.4.9.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

단계 3.4.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

단계 3.4.10.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

단계 3.4.11

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

단계 3.4.11.2

$\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$