미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

단계 1.1.3.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{y}{x} + y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y$

단계 1.2.1.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y^{1}$

단계 1.2.1.3

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y \cdot 1$

단계 1.2.1.4

$y \frac{1}{x} + y \cdot 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + 1)$

단계 1.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

단계 1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

단계 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

단계 3.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

단계 3.5.2

양변에 $| x |$ 을 곱합니다.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

단계 3.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$| x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

단계 3.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{x + C} | x |$

단계 3.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$e^{x + C} | x |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = | x | e^{x + C}$

단계 3.5.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm | x | e^{x + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{x + C}$ 을 $e^{x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

단계 4.2

$e^{x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C | x | e^{x}$