미적분 예제

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$r θ + r$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$r θ$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

단계 1.1.2

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

단계 1.1.3

$r^{1}$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

단계 1.1.4

$r (θ) + r \cdot 1$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

단계 1.2

$r θ + θ$ 에서 $θ$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$r θ$ 에서 $θ$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

단계 1.2.2

$θ$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

단계 1.2.3

$θ^{1}$ 에서 $θ$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

단계 1.2.4

$θ r + θ \cdot 1$ 에서 $θ$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

단계 1.4

양변에 $\frac{r + 1}{r}$ 을 곱합니다.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{r}{r + 1}$ 에 $\frac{θ + 1}{θ}$ 을 곱합니다.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

단계 1.5.2

$r + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$(r + 1) θ$ 에서 $r + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

단계 1.5.3

$r$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.2.3

$r$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.2.5

$\frac{1}{r}$ 를 $r$ 에 대해 적분하면 $\ln (| r |)$ 입니다.

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.3.3

$θ$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.3.5

$\frac{1}{θ}$ 를 $θ$ 에 대해 적분하면 $\ln (| θ |)$ 입니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ 에서 $θ$ 에 $1$ 을, $r$ 에 $e$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

단계 4

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

단계 4.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

단계 4.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

단계 4.4

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

단계 4.5

$e$ 은 약 $2.71828182$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

단계 4.6

$\frac{1}{e}$ 을 $1 e^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

단계 4.7

$\ln (1 e^{- 1})$ 을 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

단계 4.8

로그 공식을 이용해 지수에서 $- 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

단계 4.9

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

단계 4.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

단계 4.11

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$0 - 1 = - 1 - C + e$

단계 4.12

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1 = - 1 - C + e$

단계 4.13

$C$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$- 1 - C + e = - 1$

단계 4.14

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- C + e = - 1 + 1$

단계 4.14.2

방정식의 양변에서 $e$ 를 뺍니다.

$- C = - 1 + 1 - e$

단계 4.14.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- C = 0 - e$

단계 4.14.4

$0$ 에서 $e$ 을 뺍니다.

$- C = - e$

단계 4.15

$- C = - e$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.15.1

$- C = - e$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

단계 4.15.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.15.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

단계 4.15.2.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{- e}{- 1}$

단계 4.15.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.15.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$C = \frac{e}{1}$

단계 4.15.3.2

$e$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = e$

단계 5

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ 의 $C$ 에 $e$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$C$ 에 $e$ 를 대입합니다.

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$