미적분 예제

$x y y' = x^{2} + 1$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ 의 각 항을 $x y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ 의 각 항을 $x y$ 로 나눕니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.2.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.1.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

단계 2.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $y x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{x}{y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

단계 2.2.2.2

$y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

단계 2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

단계 2.2.4

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

단계 2.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

단계 2.4

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\frac{x^{2} + 1}{x}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

단계 2.5.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

단계 2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

단계 2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

단계 2.6

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 3.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.3.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

단계 3.3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

단계 3.3.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

단계 4.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 4.3

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

단계 4.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

단계 4.5

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 4.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 4.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 4.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 5

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$