미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{y}{x}}$

단계 1

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = V + 2 \sqrt{V}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 3

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 4

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 \sqrt{V}$

단계 5

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 \sqrt{V} - V$

단계 5.1.1.1.2

$V + 2 \sqrt{V} - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2 \sqrt{V}$

단계 5.1.1.1.2.2

$0$ 를 $2 \sqrt{V}$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$

단계 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

단계 5.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

단계 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

단계 5.1.2

양변에 $\frac{1}{\sqrt{V}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

단계 5.1.3

$\sqrt{V}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$2 \sqrt{V}$ 에서 $\sqrt{V}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

단계 5.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

단계 5.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

단계 5.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{2}{x} d x$

단계 5.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

단계 5.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{V}$ 을(를) $V^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

단계 5.2.2.1.2

$V^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

단계 5.2.2.1.3

${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

단계 5.2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

단계 5.2.2.1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

단계 5.2.2.2

멱의 법칙에 의해 $V^{- \frac{1}{2}}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $2 V^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

단계 5.2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 5.2.3.3

간단히 합니다.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 5.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

단계 5.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

단계 5.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

단계 5.3.1.2.2

$V^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

단계 5.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

단계 5.3.1.3.1.2

$\ln (| x |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

단계 5.3.2

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 5.3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 5.3.3.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$V^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 5.3.3.1.2

간단히 합니다.

$V = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

단계 5.4

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

단계 6

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

단계 7

$\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

단계 7.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

${(\ln (| x |) + C)}^{2} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x {(\ln (| x |) + C)}^{2}$