미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$8 x^{3} y - 8 x y$ 에서 $8 x y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$8 x^{3} y$ 에서 $8 x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

단계 1.1.1.2

$- 8 x y$ 에서 $8 x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

단계 1.1.1.3

$8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ 에서 $8 x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

단계 1.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

단계 1.1.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

단계 1.1.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

단계 1.3.2

$8$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

단계 1.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$x y (x + 1) (x - 1)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

단계 1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

단계 1.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

단계 1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

단계 1.3.5

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

단계 1.3.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

단계 1.3.7

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + x) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

단계 1.3.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

단계 1.3.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

단계 1.3.8

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1.1.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

단계 1.3.8.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

단계 1.3.8.1.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

단계 1.3.8.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

단계 1.3.8.1.3

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

단계 1.3.8.1.4

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

단계 1.3.8.1.5

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

단계 1.3.8.1.6

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

단계 1.3.8.2

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

단계 1.3.8.3

$x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

단계 1.3.9

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

단계 1.3.10

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

단계 2.3.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

단계 2.3.4

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$8$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3

$- 8$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ 을 $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$