미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\sin (2 y)$ 을 곱합니다.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

단계 1.2

$\sin (2 y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\sin (2 y) d y = \cos (3 x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \sin (2 y) d y = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u_{1} = 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u_{1} = 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

단계 2.2.1.1.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.2.1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.2

$\sin (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.4

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{1})$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1})) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.5.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (u_{1})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.6

$u_{1}$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cos (2 y)}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 2.3.1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 2.3.2

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.4

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2.1.3.2

$- 2 \sin^{2} (y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} - - \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2.1.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} + 1 \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.2.1.4.2

$\sin^{2} (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

사인 세배각 공식을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) + K$

단계 3.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x)) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

단계 3.3.1.3

$\frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.3.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4}{3} \sin^{3} (x) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

단계 3.3.1.3.2

$\frac{- 4}{3}$ 와 $\sin^{3} (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

단계 3.3.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1

$3 \sin (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 (\sin (x))) + K$

단계 3.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

단계 3.3.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

단계 3.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

단계 3.4

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{2}$ 를 더합니다.

$\sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}$

단계 3.4.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sin (y) = \pm \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\sin (y) = \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

단계 3.4.3.2

사인 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$y = \arcsin (\sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

단계 3.4.3.3

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\sin (y) = - \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

단계 3.4.3.4

사인 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$y = \arcsin (- \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

단계 3.4.3.5