미적분 예제

$x^{2} y^{2} d y = (y + 1) d x$

단계 1

양변에 $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{2} y^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

단계 2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

단계 2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y + 1}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

단계 2.3

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x^{2} (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

단계 2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

단계 2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y^{2}}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$y^{2}$ 을 $y + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

단계 3.2.1.2

피제수 $y^{2}$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

단계 3.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	+	$y$

단계 3.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y^{2} + y$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$

단계 3.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

단계 3.2.1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

단계 3.2.1.7

피제수 $- y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

단계 3.2.1.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					-	$y$	-	$1$

단계 3.2.1.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- y - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$

단계 3.2.1.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$
							+	$1$

단계 3.2.1.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int y - 1 + \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2.3

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2.5

먼저 $u = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$u = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 3.2.5.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.2.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 3.2.5.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.2.5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2.7

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.2.8

$u$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 3.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 3.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{- 2} d x$

단계 3.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - x^{- 1} + C_{5}$

단계 3.3.3

$- x^{- 1} + C_{5}$ 을 $- \frac{1}{x} + C_{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{x} + C_{5}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$