미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 3 y + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - 3 y) + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

단계 1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 3) + 1 (x - 3)}{x y + 2 y - x - 2}$

단계 1.1.2

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{x y + 2 y - x - 2}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x y + 2 y) - x - 2}$

단계 1.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{y (x + 2) - (x + 2)}$

단계 1.2.2

최대공약수 $x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1}$

단계 1.4

양변에 $\frac{y - 1}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} (\frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{x - 3}{x + 2}$ 에 $\frac{y + 1}{y - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

단계 1.5.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$(x + 2) (y - 1)$ 에서 $y - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{x + 2}$

단계 1.5.3

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$(x - 3) (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

단계 1.5.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

단계 1.5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y + 1} d y = \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$y - 1$ 을 $y + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$1$

$y$

$1$

단계 2.2.1.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	-	$1$

단계 2.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$1$

단계 2.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$

단계 2.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$
					-	$2$

단계 2.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.5

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{y + 1} d y) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.7

먼저 $u_{1} = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

$u_{1} = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.7.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.7.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.7.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.8

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$y + C_{1} - 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.9

간단히 합니다.

$y - 2 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.2.10

$u_{1}$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x - 3$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x$

$3$

단계 2.3.1.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$3$

단계 2.3.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			+	$x$	+	$2$

단계 2.3.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$

단계 2.3.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$
					-	$5$

단계 2.3.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 2} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

단계 2.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 2} d x$

단계 2.3.5

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

단계 2.3.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 2} d x$

단계 2.3.7

먼저 $u_{2} = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$u_{2} = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 2.3.7.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.7.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

단계 2.3.10

$u_{2}$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C$