미적분 예제

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

단계 2

$v = y^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $y^{2}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

단계 3

$y^{2}$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d x}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

단계 4

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2 x y$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

단계 4.3

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

단계 5

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $v$ 를 뺍니다.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

단계 5.2

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

단계 5.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

단계 5.3.2

$\frac{d v}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

단계 5.4

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 2 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

단계 5.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

단계 5.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

단계 5.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

단계 5.4.2.5

$- 2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

단계 5.5

$\frac{- v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

단계 5.6

$v$ 와 $\frac{- 1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

단계 6

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 1}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

단계 6.2

$\frac{- 1}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

단계 6.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

단계 6.2.4

간단히 합니다.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

단계 6.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- \ln (x)}$

단계 6.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

단계 6.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 1}$

단계 6.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x}$

단계 7

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $\frac{d v}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.4

$\frac{1}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.5.1

$\frac{v}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.2.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

단계 7.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

단계 7.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

단계 7.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

단계 7.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

단계 7.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

단계 8

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

단계 9

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

단계 10

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

단계 11

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

단계 11.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 11.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 11.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

단계 11.3.2.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

단계 11.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

단계 11.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

단계 11.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

단계 11.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

단계 12

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

단계 12.2

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

단계 12.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

단계 12.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$v = (- x^{2} + C) x$

단계 12.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1

$(- x^{2} + C) x$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = - x^{2} x + C x$

단계 12.3.2.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

단계 12.3.2.1.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

단계 12.3.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

단계 12.3.2.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$v = - x^{3} + C x$

단계 13

$v$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$y^{2} = - x^{3} + C x$

단계 14

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

단계 14.2

$- x^{3} + C x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$- x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

단계 14.2.2

$C x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

단계 14.2.3

$x (- x^{2}) + x C$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

단계 14.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

단계 14.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

단계 14.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$