미적분 예제

$\frac{4}{t} d t - \frac{y - 3}{y} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{4}{t} d t$ 를 뺍니다.

$- \frac{y - 3}{y} d y = - \frac{4}{t} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.2

$y - 3$ 을 $y$ 로 나눕니다.

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단계 2.2.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$0$

$y$

$3$

단계 2.2.2.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

단계 2.2.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

단계 2.2.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

단계 2.2.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

단계 2.2.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.4

상수 규칙을 적용합니다.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.6

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.8

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.2.9

간단히 합니다.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int - \frac{4}{t} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - \int \frac{4}{t} d t$

단계 2.3.2

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - (4 \int \frac{1}{t} d t)$

단계 2.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \int \frac{1}{t} d t$

단계 2.3.4

$\frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 (\ln (| t |) + C_{4})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \ln (| t |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- (y - 3 \ln (| y |)) = - 4 \ln (| t |) + C$