미적분 예제

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 6 x + y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $6 x + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$6 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $6 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $6 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

단계 1.5

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

단계 2

$N (x, y) = y (2 x - 3)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

단계 2.2

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $y (2 x - 3)$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

단계 2.8.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 y$ 을 대입합니다.

$2 y = 2 y$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 y = 2 y$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

단계 5

$N (x, y) = y (2 x - 3)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$2 x - 3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2 x - 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 5.3

$(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.3

합의 법칙에 의해 $2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.8

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.9

$\frac{y^{2}}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.10

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.11

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.11.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

단계 9.1.2

$6 x + y^{2} - y^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

단계 9.1.2.2

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

단계 10

$6 x$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 6 x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 6 x d x$

단계 10.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 6 \int x d x$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 10.5

답을 간단히 합니다.

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단계 10.5.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 10.5.2

간단히 합니다.

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단계 10.5.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (x) = 3 x^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.3

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.6

$y^{2}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.7

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.8

$x y^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.9

공통분모를 사용하여 $y^{2} x$ 와 $- \frac{3 y^{2}}{2}$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 12.1.9.1

$y^{2}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x y^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.9.3

$x y^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.10.1

$x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.10.1.1

$x y^{2} \cdot 2$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.10.1.2

$- 3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.10.1.3

$y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.1.10.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

단계 12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3 x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 12.3

$3 x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

단계 12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

단계 12.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

단계 12.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

단계 12.5.3

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

단계 12.5.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$