미적분 예제

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y (y^{3} - x)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

단계 1.2

$f (y) = y$ , $g (y) = y^{3} - x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $y^{3} - x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.3

$- x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.4

$3 y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.4

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

단계 1.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.8.1

$y^{3} - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

단계 1.8.2

$3 y^{3}$ 를 $y^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

단계 2

$N (x, y) = x (y^{3} + x)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y^{3} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $y^{3} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{3}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

단계 2.3.7

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

$y^{3} + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

단계 2.3.7.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $4 y^{3} - x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{3} + 2 x$ 을 대입합니다.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{3} + 2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $4 y^{3} - x$ 를 대입합니다.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y (y^{3} - x)$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$M$ 에 $y (y^{3} - x)$ 를 대입합니다.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.3

$- - x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.4

$y^{3}$ 에서 $4 y^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.5

$2 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.6

$- 3 y^{3} + 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.2.6.1

$- 3 y^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.6.2

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.2.6.3

$3 (- y^{3}) + 3 (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.3

$- y^{3} + x$ 및 $y^{3} - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

$- y^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.3.2

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.3.3

$- (y^{3}) - 1 (- x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.3.4

$- (y^{3} - x)$ 을 $- 1 (y^{3} - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.3.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

단계 4.3.3.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

단계 4.3.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{y}$

단계 4.3.5

$M$ 에 $y (y^{3} - x)$ 를 대입합니다.

$- \frac{3}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

단계 5.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

단계 5.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

단계 6

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y (y^{3} - x)$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

단계 6.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

단계 6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

단계 6.3

$y^{3} - x$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

단계 6.4

$x (y^{3} + x)$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.6

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.7

$x y^{3} + x^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.8

$x y^{3} + x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.8.1

$x y^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.8.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.8.3

$x (y^{3}) + x \cdot x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{y^{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

단계 8.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

단계 8.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

단계 8.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

단계 8.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.2

$f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ , $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.3

합의 법칙에 의해 $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.4

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{3} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.6

$- \frac{x^{2}}{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{x^{2}}{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- \frac{x^{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.7

$\frac{1}{y^{2}}$ 을 ${(y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.8

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.8.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.8.3

$u$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.10

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.11

$3 x y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.12

$3$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.13

$x$ 와 $\frac{3}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.14

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.15

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.16

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.16.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.16.2

$3 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.17

${(y^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.17.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.17.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.18

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.19

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.3.21

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.3

$y^{3}$ 와 $\frac{2}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.4

$x$ 와 $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.5

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.6

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.7

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.7.2

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.9

$- 2$ 와 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.11

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.12

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.13

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.14

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.3.15.1

공약수로 약분합니다.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.15.2

수식을 다시 씁니다.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.3.16

$3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 11.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.3.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.4

$x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.4.2

$- x y^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.5

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.5.2

$- x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

단계 12.1.6

$\frac{d g}{d y} + x - x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.6.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

단계 12.1.6.2

$\frac{d g}{d y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 13

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 13.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 13.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

단계 15.2

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1.1

$y^{3} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.3.1.2

$- \frac{x^{2}}{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

단계 15.3.1.3

$x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

단계 15.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $y^{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

단계 15.3.3

$y^{3}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

단계 15.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.3.5

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.4

$x$ 와 $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

단계 15.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

단계 15.6

조합합니다.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

단계 15.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$