미적분 예제

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ 을 $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.3

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

단계 3.2

$\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

단계 3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.2.3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$K$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.4

$K$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

단계 3.2.5

$\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

단계 3.2.6

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

단계 3.2.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.2.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

단계 3.2.7.2

$\sqrt[3]{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

단계 3.2.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

단계 3.2.7.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

단계 3.2.7.5

${\sqrt[3]{3}}^{3}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.2.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.2.7.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.2.7.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.2.7.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.7.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.2.7.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

단계 3.2.7.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

단계 3.2.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.8.1

${\sqrt[3]{3}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{3^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

단계 3.2.8.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

단계 3.2.9

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.9.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

단계 3.2.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$