미적분 예제

$\frac{2 d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 을 인수분해합니다.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

단계 1.2

인수를 다시 묶습니다.

$2 \frac{d y}{d x} = y \frac{x + 1}{x}$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

단계 1.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{x + 1}{x}$

단계 1.5

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = \frac{x + 1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{y}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

단계 2.2.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

단계 3.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

단계 3.2.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

단계 3.5.2

양변에 $| x |$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

단계 3.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$| x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

단계 3.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

단계 3.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

단계 3.5.4.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

단계 3.5.4.2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

단계 3.5.4.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{x + C}$ 을 $e^{x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

단계 4.2

$e^{x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

단계 4.3

$e^{x + C}$ 을 $e^{x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

단계 4.4

$e^{x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$