미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{3}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

단계 1.2

$\frac{3}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 1.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

단계 1.2.3

간단히 합니다.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{3 \ln (x)}$

단계 1.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{3})}$

단계 1.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{3}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{3}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.3.2

공약수로 약분합니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 6.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

단계 6.4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

단계 6.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

단계 6.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

단계 6.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

단계 6.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

단계 6.4.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

단계 6.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 6.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 6.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 6.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 6.6.2.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

단계 6.6.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

단계 6.6.3

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

단계 6.6.4

항을 다시 정렬합니다.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

단계 7

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

단계 7.1.2

괄호를 제거합니다.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

단계 7.2

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ 의 각 항을 $x^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ 의 각 항을 $x^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1

$x^{2}$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1.1

$\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.4.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.4.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.4.3

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.4.4

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.4.5

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.5

$\frac{- 1}{4}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

단계 7.2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$