미적분 예제

$x y^{2} \frac{d y}{d x} - x = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

단계 1.1.2

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ 의 각 항을 $x y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ 의 각 항을 $x y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.2.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

단계 1.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x y^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{y^{2} x}$

단계 1.2.2.2

$x y^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{x}{y^{2} x}$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{y^{2} x}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

단계 1.4

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{1 + x}{x}$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{x y^{2}}$

단계 1.5.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

단계 2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

단계 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

단계 2.3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = x + \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 x + 3 \ln (| x |) + 3 C$

단계 3.3

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$y^{3} = 3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + C}$