미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ 라고 가정합니다.

단계 2

함수가 $(3, 1)$ 근처에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$(3, 1)$ 값을 $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$\sqrt{3 - y}$

단계 2.1.2

$y$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\sqrt{3 - 1}$

단계 2.1.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\sqrt{2}$

단계 2.2

음수나 0이 있는 로그가 없고, 0이나 음의 피개법수가 있는 짝수 근호가 없고, 분모에 0이 있는 분수가 없기 때문에 이 함수는 $(3, 1)$ 의 $x$ 값 주변에서 열린 구간에 연속입니다.

연속

단계 3

$y$ 에 대하여 편미분을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

편미분을 구합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

단계 3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x - y}$ 을(를) ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ , $g (y) = x - y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x - y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

단계 3.9

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

단계 3.10

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

단계 3.11

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

단계 3.12

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

단계 3.14

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.14.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

단계 3.14.2

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.14.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

$y$ 에 대하여 편미분이 $(3, 1)$ 근처에서 연속되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분수 지수를 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

단계 4.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

단계 4.2

$(3, 1)$ 값을 $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

단계 4.2.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

단계 4.2.3

$y$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

단계 4.3

음수나 0이 있는 로그가 없고, 0이나 음의 피개법수가 있는 짝수 근호가 없고, 분모에 0이 있는 분수가 없기 때문에 이 함수는 $(3, 1)$ 의 $y$ 값 주변에서 열린 구간에 연속입니다.

연속

단계 5

$y$ 에 대해여 함수와 그 편미분 둘 다 $(3, 1)$ 의 $x$ 값 주변의 열린 구간에서 연속입니다.

유일한 해