미적분 예제

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

단계 2

$y'$ 를 구합니다.

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단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

단계 2.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{3 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.2.7

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 e^{4 x}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 입니다.

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

단계 2.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 2.3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 2.3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 2.3.3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

단계 2.3.3.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

단계 2.3.3.6

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

단계 2.3.3.7

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

단계 3

$y''$ 를 구합니다.

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단계 3.1

도함수를 구합니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ 가 됩니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 e^{3 x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.3.7

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 e^{4 x}$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 입니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

단계 3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.4.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

단계 3.4.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

단계 3.4.6

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

단계 3.4.7

$4$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

단계 4

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

단계 5.1.2

$6$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

단계 5.1.3

$- 20$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

단계 5.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

단계 5.1.5

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

단계 5.1.6

$- 5$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

단계 5.2

$18 e^{3 x}$ 에서 $42 e^{3 x}$ 을 뺍니다.

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

단계 5.3

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.3.1

$- 24 e^{3 x}$ 를 $24 e^{3 x}$ 에 더합니다.

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

단계 5.3.2

$0$ 에서 $80 e^{4 x}$ 을 뺍니다.

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

단계 5.4

$- 80 e^{4 x}$ 를 $140 e^{4 x}$ 에 더합니다.

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

단계 5.5

$60 e^{4 x}$ 에서 $60 e^{4 x}$ 을 뺍니다.

$0 = 0$

단계 6

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ 이 $y'' - 7 y' + 12 y = 0$ 의 해입니다.