미적분 예제

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

단계 2.3.3

$2 t - 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 t - 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

단계 3

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ 의 각 항을 $t$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ 의 각 항을 $t$ 로 나눕니다.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

단계 3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

단계 3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

단계 3.3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

단계 3.3.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

단계 3.3.2.4

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

단계 3.3.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

단계 3.3.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.6.1

$2 x^{2} t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

단계 3.3.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

단계 3.3.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

단계 3.3.2.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.8

공통분모를 사용하여 $x^{2} t$ 와 $- \frac{x^{2}}{2}$ 을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.8.1

$x^{2}$ 와 $t$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.8.2

공통 분모를 가지는 분수로 $t x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.8.3

$t x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.8.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.9.1

$t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.9.1.1

$t x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.9.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.9.1.3

$x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.2.9.2

$t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $6 e^{2 t} t x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$6 e^{2 t} t x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.1

$6 e^{2 t} t x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5.1.2

$x^{2} (2 t - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5.1.3

$x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5.5

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.5.6

각 항을 간단히 합니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

단계 3.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

단계 3.3.7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$K$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.8.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.8.3.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.8.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.3.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.8.3.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.3.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

단계 3.3.8.4

$K$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

단계 3.3.9

$\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

단계 3.3.10

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

단계 3.3.11

$\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ 에 $\frac{1}{t}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$