미적분 예제

$2 y (x + 1) d y = x d x$

단계 1

양변에 $\frac{1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

단계 2.2

$2$ 와 $\frac{1}{x + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

단계 2.3

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y (x + 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

단계 2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

단계 2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

단계 2.4

$\frac{1}{x + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.2

좌변을 적분합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 을 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.2.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.2.3.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

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단계 3.3.1

$x$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 3.3.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 3.3.1.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

단계 3.3.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

단계 3.3.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

단계 3.3.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

단계 3.3.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

단계 3.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

단계 3.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

단계 3.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

단계 3.3.5

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.3.5.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.3.5.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 3.3.5.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.3.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.3.5.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.3.5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.3.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

단계 3.3.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

단계 3.3.7

간단히 합니다.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

단계 3.3.8

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

단계 4.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

단계 4.2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

단계 4.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$