미적분 예제

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $e^{x} e^{y} d x$ 를 뺍니다.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{e^{y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.2

$e^{- 2 y}$ 와 $\frac{1}{e^{y}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.3

$e^{- 2 y}$ 및 $e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$e^{- 2 y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.3.2.4

$e^{- 3 y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.5

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{e^{y}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

단계 3.5.2

$e^{x} e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

단계 3.5.3

공약수로 약분합니다.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

단계 3.5.4

수식을 다시 씁니다.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

단계 3.6

지수를 더하여 $e^{x - y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

단계 3.6.2

$x - y + y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

단계 3.6.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.2

먼저 $u = - 3 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 3 d y$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$u = - 3 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$- 3 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

단계 4.2.2.1.2

$- 3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 3 y$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

단계 4.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 \cdot 1$

단계 4.2.2.1.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3$

단계 4.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.3.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.5.2

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.8

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

단계 4.2.9

$u$ 를 모두 $- 3 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

단계 4.3.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{- 3 y}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

단계 5.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

단계 5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$3 (- e^{x} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

단계 5.2.2.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

단계 5.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

단계 5.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 3 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 3 y})$ 을 전개합니다.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

단계 5.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

단계 5.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

단계 5.5

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

단계 5.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$