미적분 예제

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{3} d x$ 를 뺍니다.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

단계 2.3.3

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${(y + 1)}^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$x^{4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

$3 (- \frac{x^{4}}{4})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$- 3$ 와 $\frac{x^{4}}{4}$ 을 묶습니다.

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

단계 3.2.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

다시 씁니다.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

단계 3.4.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

단계 3.4.3

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$- \frac{3 x^{4}}{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

단계 3.4.3.2

$3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

단계 3.4.3.3

$3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

단계 3.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

단계 3.4.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$K$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

단계 3.4.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

단계 3.4.6

$K$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

단계 3.4.7

$3$ 와 $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ 을 묶습니다.

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

단계 3.4.8

$\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

단계 3.4.9

$\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.10

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.10.2

$\sqrt[3]{4}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 3.4.10.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

단계 3.4.10.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

단계 3.4.10.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 을 $4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{4}$ 을(를) $4^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.4.10.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.4.10.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.10.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.10.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

단계 3.4.10.5.5

지수값을 계산합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

단계 3.4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

단계 3.4.11.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

단계 3.4.11.3

$16$ 을 $2^{3} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.3.1

$16$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

단계 3.4.11.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.11.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

단계 3.4.11.5

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.5.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

단계 3.4.11.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

단계 3.4.12

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

$2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

단계 3.4.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

단계 3.4.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

단계 3.5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

단계 3.6

$\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.6.2

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

단계 3.6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

단계 3.6.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$