미적분 예제

$x (1 + 3 y^{2}) d y - (1 + 2 x^{2}) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $(1 + 2 x^{2}) d x$ 를 더합니다.

$x (1 + 3 y^{2}) d y = (1 + 2 x^{2}) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1 + 2 x^{2}$ 을 곱합니다.

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 1 + 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} + 3 \int y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.4

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

간단히 합니다.

$y + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.5.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + 1 y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.5.2.3

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.2.6

항을 다시 정렬합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x$

단계 4.3.3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x$

단계 4.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x$

단계 4.3.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

단계 4.3.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

단계 4.3.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{1} d x$

단계 4.3.3.2.5

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int 2 x d x$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int 2 x d x$

단계 4.3.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 \int x d x$

단계 4.3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

간단히 합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

단계 4.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

단계 4.3.7.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

단계 4.3.7.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 1 x^{2} + C_{6}$

단계 4.3.7.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + x^{2} + C_{6}$

단계 4.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y^{3} + y + C_{3} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y^{3} + y = x^{2} + \ln (| x |) + C$