미적분 예제

$(1 + y) d x - (1 - x) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(1 + y) d x$ 를 뺍니다.

$- (1 - x) d y = - (1 + y) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 - x)) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

단계 3.2

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

단계 3.5

$1 + y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

단계 3.5.2

$(1 - x) (1 + y)$ 에서 $1 + y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

단계 3.5.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

단계 3.5.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.2.2

먼저 $u_{1} = 1 + y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$u_{1} = 1 + y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$1 + y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

단계 4.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

단계 4.2.2.1.3

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

단계 4.2.2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 4.2.2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.2.4

간단히 합니다.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.2.5

$u_{1}$ 를 모두 $1 + y$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u_{2} = 1 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - d x$ 이므로 $- d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u_{2} = 1 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 4.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.4

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.5.2

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

단계 4.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| 1 + y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

단계 5.2

방정식의 양변에 $\ln (| 1 - x |)$ 를 더합니다.

$- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$

단계 5.3

$- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| 1 + y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

단계 5.3.2.2

$\ln (| 1 + y |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 1 + y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 1 + y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

단계 5.3.3.1.2

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 1 + y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

단계 5.3.3.1.3

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 1 + y |) = - C - 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$

단계 5.3.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$ 을 $- \ln (| 1 - x |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 1 + y |) = - C - \ln (| 1 - x |)$

단계 5.4

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = - C$

단계 5.5

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = - C$

단계 5.6

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = - C$

단계 5.7

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + y) (1 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = - C$

단계 5.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = - C$

단계 5.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

단계 5.8

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

단계 5.8.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

단계 5.8.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = - C$

단계 5.8.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$

단계 5.9

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{- C}$

단계 5.10

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- C} = | 1 - x + y - y x |$

단계 5.11

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

$| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$

단계 5.11.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$1 - x + y - y x = \pm e^{- C}$

단계 5.11.3

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x + y - y x = \pm e^{- C} - 1$

단계 5.11.3.2

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$y - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

단계 5.11.4

$y - y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.4.1

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

단계 5.11.4.2

$- y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

단계 5.11.4.3

$y \cdot 1 + y (- 1 x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (1 - 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

단계 5.11.5

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

단계 5.11.6

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.6.1

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

단계 5.11.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.6.2.1

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

단계 5.11.6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

단계 5.11.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

단계 5.11.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

단계 5.11.6.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1 + x}{1 - x}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$