미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y^{2} + x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

단계 1.1.2

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

단계 1.1.3

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

단계 1.1.4

$y^{2}$ 에 $1 + x$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

단계 1.2

$x^{2} y - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{2} y$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

단계 1.2.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

단계 1.2.3

$x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

단계 1.4

양변에 $\frac{y - 1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{y^{2}}{y - 1}$ 에 $\frac{1 + x}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

단계 1.5.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$(y - 1) x^{2}$ 에서 $y - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

단계 1.5.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.2

$(y - 1) y^{- 2}$ 을 곱합니다.

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$y$ 에 $y^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3.1.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3.2

$- 1 y^{- 2}$ 을 $- y^{- 2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.5

$y^{- 1}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.7

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

간단히 합니다.

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.8.2.2

$\frac{1}{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.2.9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

단계 2.3.2

$(1 + x) x^{- 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

단계 2.3.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

단계 2.3.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

단계 2.3.3.2.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

단계 2.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

단계 2.3.6

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$