미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

단계 1

$v = \frac{d y}{d x}$ 로 두면 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d y}{d x}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d x}$ 를 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $x$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C_{1}}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

단계 3.2

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

$e^{x}$ 와 $\cos (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

단계 7.2

$u = \cos (x)$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

단계 7.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

단계 7.4

식을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

단계 7.4.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

단계 7.4.3

$e^{x}$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

단계 7.5

$u = \sin (x)$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

단계 7.6

$\int e^{x} \cos (x) d x$ 을 풀면 $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ 입니다.

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

단계 7.7

$\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ 을 $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

단계 8

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1.1

$\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1.1

$\cos (x) e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.1.1.2

$\sin (x) e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.1.1.3

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.2

$\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ 에서 $\frac{e^{x}}{2}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.3

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.5

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 8.3.1.6

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 9

$v$ 를 모두 $\frac{d y}{d x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

단계 10

식을 다시 씁니다.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

단계 11

양변을 적분합니다.

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단계 11.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

단계 11.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

단계 11.3

우변을 적분합니다.

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단계 11.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

단계 11.3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

단계 11.3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

단계 11.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

단계 11.3.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

단계 11.3.6

$C_{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $C_{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

단계 11.3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 11.3.7.1

$e^{x}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

단계 11.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.7.2.1

${(e^{x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.7.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

단계 11.3.7.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

단계 11.3.7.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

단계 11.3.7.2.2

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

단계 11.3.8

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.8.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.8.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 11.3.8.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.3.8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 11.3.8.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 11.3.8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

단계 11.3.9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

단계 11.3.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

단계 11.3.11

간단히 합니다.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

단계 11.3.12

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

단계 11.3.13

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

단계 11.3.14

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

단계 11.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$