미적분 예제

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

단계 1

$v = y^{3}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $y^{3}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

단계 2

$y^{3}$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d x}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

단계 3

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

단계 3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

단계 3.3

$\frac{1}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

단계 4

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

단계 4.2

$v$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

단계 5

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 5.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\ln (| x |) + C}$

단계 5.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (x)}$

단계 5.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x$

단계 6

각 항에 적분 인수 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

단계 6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

단계 6.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

단계 6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

단계 6.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

단계 6.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

단계 6.3.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

단계 7

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

단계 8

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

단계 9

좌변을 적분합니다.

$x v = \int x^{5} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} x^{6}$ 가 됩니다.

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

단계 11

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 11.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 11.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 11.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1.1

$x^{6}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1.1.1

$\frac{1}{6} x^{6}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

단계 11.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

단계 11.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 11.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 11.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

단계 11.3.1.1.2.5

$\frac{1}{6} x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

단계 11.3.1.2

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

단계 12

$v$ 를 모두 $y^{3}$ 로 바꿉니다.

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

단계 13

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

단계 13.2

$\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x^{5}}{6}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

단계 13.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{C}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

단계 13.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6 x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.3.1

$\frac{x^{5}}{6}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

단계 13.2.3.2

$\frac{C}{x}$ 에 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

단계 13.2.3.3

$x \cdot 6$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

단계 13.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

단계 13.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.5.1

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.5.1.1

$x^{5}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.5.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

단계 13.2.5.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

단계 13.2.5.1.2

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

단계 13.2.5.2

$C$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

단계 13.2.6

$\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

단계 13.2.7

$\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

단계 13.2.8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.8.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

단계 13.2.8.2

$\sqrt[3]{6 x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

단계 13.2.8.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

단계 13.2.8.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

단계 13.2.8.5

${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ 을 $6 x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{6 x}$ 을(를) ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 13.2.8.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 13.2.8.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

단계 13.2.8.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.8.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

단계 13.2.8.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

단계 13.2.8.5.5

간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

단계 13.2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.9.1

${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

단계 13.2.9.2

$6 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

단계 13.2.9.3

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

단계 13.2.10

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

단계 13.2.11

$\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

단계 14

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$