미적분 예제

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $3 y d x$ 를 뺍니다.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

단계 3.2

$2 x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

단계 3.2.2

$(2 x + 1) y$ 에서 $2 x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

단계 3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

단계 3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

단계 3.5

$- 3$ 와 $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

단계 3.6

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$(2 x + 1) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

단계 4.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

단계 4.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

단계 4.3.4

먼저 $u = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$u = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 4.3.4.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.4.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 4.3.4.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 4.3.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 4.3.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 4.3.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

단계 4.3.10

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$\ln (| 2 x + 1 |)$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

단계 5.1.1.2

$\ln (| 2 x + 1 |)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

단계 5.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \ln (| y |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.4

$- \ln (| y |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.7

$- 2 \ln (| y |)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.8

$3 \ln (| 2 x + 1 |)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

단계 5.9

$- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

단계 5.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ 을 $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

단계 5.10.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.11

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.11.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

단계 5.11.1.1.3

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

단계 5.11.1.1.4

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

단계 5.11.1.2

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ 로 바꿔 씁니다.

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

단계 5.11.1.3

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ 을 간단히 합니다.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

단계 5.11.1.4

$\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 5.11.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.5.1

${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 5.11.1.5.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 5.11.1.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 5.11.1.5.2

간단히 합니다.

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

단계 5.11.1.6

${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

단계 5.11.1.6.2

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

단계 5.12

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.12.1

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

단계 5.12.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.12.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

단계 5.12.2.2

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

단계 5.12.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.12.3.1

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

단계 5.12.3.2

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

단계 5.13

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

단계 5.14

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5.15

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.15.1

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

단계 5.15.2

양변에 ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

단계 5.15.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.15.3.1

${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.15.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

단계 5.15.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$