미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

단계 1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $8 y$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

단계 1.3

$9 y$ 에서 $8 y$ 을 뺍니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

단계 2

방정식 좌변이 $x y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y \cdot 1$

단계 2.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 2.5

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 2.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

단계 6.2

상수 규칙을 적용합니다.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

단계 6.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

단계 6.4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

단계 6.5

상수 규칙을 적용합니다.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

단계 6.6

간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

단계 6.6.2

간단히 합니다.

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

단계 7

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.2.2.5

$2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

단계 7.3.1.3.2

$- 6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$