미적분 예제

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에서 $2 x y^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

단계 1.1.3

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ 에서 $2 x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ 에서 $2 x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

단계 1.1.3.2

$2 x \frac{d y}{d x}$ 에서 $2 x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

단계 1.1.3.3

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ 에서 $2 x \frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

단계 1.1.4

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ 의 각 항을 $2 x (x y + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ 의 각 항을 $2 x (x y + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.2.3

$x y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.1.1

$- 2 x y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.1.2.1

$2 x (x y + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.4.1

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1.4.2.1

$2 x (x y + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

단계 1.1.4.3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

단계 1.1.4.3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x y + 1) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.3.1

$\frac{y^{2}}{x y + 1}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.3.2

$(x y + 1) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.5

$- y^{2} x - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.5.1

$- y^{2} x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.5.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.5.3

$y (- y x) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.6

$- y x - 1$ 및 $x y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.6.1

$- y x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.6.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.6.3

$- (y x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.6.4

$- (y x + 1)$ 을 $- 1 (y x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.6.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.6.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

단계 1.1.4.3.6.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

단계 1.1.4.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.7.1

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

단계 1.1.4.3.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

단계 3.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | | x |) = C$

단계 3.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| y x |) = C$

단계 3.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y x |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y x |$

단계 3.6

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$| y x | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y x | = e^{C}$

단계 3.6.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y x = \pm e^{C}$

단계 3.6.3

$y x = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

$y x = \pm e^{C}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

단계 3.6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

단계 3.6.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C}{x}$