미적분 예제

$\frac{1}{3} \cdot \frac{d y}{d x} = y + \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

단계 1.2

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$ 의 각 항에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

단계 1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

단계 1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

단계 1.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

단계 1.6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2}}{3} e^{3 x} \cdot 3$

단계 1.7

$\frac{x^{2}}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} \cdot 3$

단계 1.8

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

단계 1.9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

단계 1.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1 x^{2} e^{3 x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 3$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 3 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- 3 x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 3 x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

단계 3.3

지수를 더하여 $e^{- 3 x}$ 에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1

$e^{3 x}$ 를 옮깁니다.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x} e^{- 3 x} (1 x^{2})$

단계 3.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x - 3 x} (1 x^{2})$

단계 3.3.3

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{0} (1 x^{2})$

단계 3.4

$e^{0} (1 x^{2})$ 을 간단히 합니다.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$

단계 3.5

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = x^{2}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = x^{2}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int x^{2} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- 3 x} y = \int x^{2} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 8

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ 의 각 항을 $e^{- 3 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ 의 각 항을 $e^{- 3 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$e^{- 3 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 8.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 8.3.1.3

조합합니다.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

단계 8.3.1.4

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$