미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

단계 1

양변을 $x$ 에 대하여 적분합니다.

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단계 1.1

1차 도함수가 $x$ 에 대한 2차 도함수의 적분과 같습니다.

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

단계 1.2

$\frac{21}{10}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{21}{10}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

단계 1.3

먼저 $u = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.3.1

$u = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.3.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 1.3.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 1.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

단계 1.4

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ 을 $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

단계 1.5.2

간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$\frac{21}{10}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

단계 1.5.2.2

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

단계 1.6

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

단계 2

식을 다시 씁니다.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

단계 3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

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단계 3.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

단계 3.3.2

$\frac{21}{20}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{21}{20}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

단계 3.3.3

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

단계 3.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

단계 3.3.5

간단히 합니다.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$