미적분 예제

\frac{d y}{d x} = x y^{3}

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에

$\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

단계 1.2

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x y^{3}$ 에서

$y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{3}$ 에

$- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2.2

$3$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해

$y^{- 3}$ 를

$y$ 에 대해 적분하면

$- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ 을

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 에

$\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.2.3.2.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로

$2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해

$x$ 를

$x$ 에 대해 적분하면

$\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를

$K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와

$x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 y^{2}, 2, 1$

단계 3.2.2

$2 y^{2}, 2, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인

$2, 2, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분

$y^{2}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 3.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.2.4

$2$ 는

$1$ ,

$2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 3.2.5

숫자

$1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.6

$2, 2, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 3.2.7

$y^{2}$ 의 인수는

$y \cdot y$ 이며

$y$ 를

$2$ 번 곱한 값입니다.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ 는

$2$ 번 나타납니다.

단계 3.2.8

$y^{2}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y \cdot y$

단계 3.2.9

$y$ 에

$y$ 을 곱합니다.

$y^{2}$

단계 3.2.10

$2 y^{2}, 2, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분

$2$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$2 y^{2}$

단계 3.3

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ 의 각 항에

$2 y^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ 의 각 항에

$2 y^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

단계 3.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

단계 3.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

단계 3.3.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

단계 3.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

단계 3.3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

단계 3.4.2

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ 에서

$y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$x^{2} y^{2}$ 에서

$y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

단계 3.4.2.2

$2 K y^{2}$ 에서

$y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

단계 3.4.2.3

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ 에서

$y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

단계 3.4.3

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ 의 각 항을

$x^{2} + 2 K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ 의 각 항을

$x^{2} + 2 K$ 로 나눕니다.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$x^{2} + 2 K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.3.2.1.2

$y^{2}$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

단계 3.4.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

먼저,

$\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

단계 3.4.5.2

그 다음

$\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.