미적분 예제

$\frac{d z}{d x} = \frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

단계 1.2

$\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = 1 d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = \int d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + \frac{2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

단계 2.2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4 + 2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

단계 2.2.1.3

$z$ 를 $2 z$ 에 더합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 4 - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

단계 2.2.1.4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 3}{2 z - 1}} d z = \int d x$

단계 2.2.1.5

$\frac{3 z + 3}{2 z - 1}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int 1 \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

단계 2.2.1.6

$\frac{2 z - 1}{3 z + 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

단계 2.2.2

$2 z - 1$ 을 $3 z + 3$ 로 나눕니다.

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단계 2.2.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 z$

$3$

$2 z$

$1$

단계 2.2.2.2

피제수 $2 z$ 의 고차항을 제수 $3 z$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{2}{3}$
	$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$

단계 2.2.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			+	$2 z$	+	$2$

단계 2.2.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 z + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$

단계 2.2.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$
					-	$3$

단계 2.2.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int \frac{2}{3} - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

단계 2.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

단계 2.2.4

$3$ 및 $3 z + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.4.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

단계 2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.4.2.1

$3 z$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3} d z = \int d x$

단계 2.2.4.2.2

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3 (1)} d z = \int d x$

단계 2.2.4.2.3

$3 (z) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

단계 2.2.4.2.4

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

단계 2.2.4.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

단계 2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{2}{3} z + C_{1} + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

단계 2.2.6

$- 1$ 은 $z$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

단계 2.2.7

먼저 $u = z + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d z$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.2.7.1

$u = z + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d z}$ 를 구합니다.

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단계 2.2.7.1.1

$z + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d z} [z + 1]$

단계 2.2.7.1.2

합의 법칙에 의해 $z + 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$

단계 2.2.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d z} [1]$

단계 2.2.7.1.4

$1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

단계 2.2.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

단계 2.2.9

간단히 합니다.

$\frac{2}{3} z - \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

단계 2.2.10

$u$ 를 모두 $z + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = \int d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) = x + C$