미적분 예제

$\int \frac{2 + \sqrt{x} + x}{x} d x$

단계 1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

단계 3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

단계 3.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

단계 5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

단계 6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x + \int d x$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

단계 6.2.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.2.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

단계 6.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

단계 6.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

단계 6.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x + \int d x$

단계 6.2.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int d x$

단계 6.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.3.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int d x$

단계 6.3.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int d x$

단계 6.3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int d x$

단계 6.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + x + C$

단계 9

간단히 합니다.

$2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C$