미적분 예제

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{5} - 20 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 1.2.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 x^{3}$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{4}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

단계 2.2.3

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 60 x^{2}$ 의 미분은 $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 60$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{5} - 20 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 4.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 4.1.2.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 x^{3}$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

단계 4.1.3.3

$3$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 입니다.

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

단계 5.2.2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$15 u^{2} - 60 u = 0$

단계 5.2.3

$15 u^{2} - 60 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.3.1

$15 u^{2}$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (u) - 60 u = 0$

단계 5.2.3.2

$- 60 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

단계 5.2.3.3

$15 u (u) + 15 u (- 4)$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (u - 4) = 0$

단계 5.2.4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

단계 5.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 5.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x^{2} - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x^{2} - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 4 = 0$

단계 5.5.2

$x^{2} - 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x^{2} = 4$

단계 5.5.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 5.5.2.3

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 5.5.2.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 5.5.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 5.5.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 5.5.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 5.6

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2, - 2$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, 2, - 2$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$60 {(0)}^{3} - 120 \cdot 0$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

단계 9.1.2

$60$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 120 \cdot 0$

단계 9.1.3

$- 120$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 9.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 의 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 $- 4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 60 {(- 4)}^{2}$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

$- 4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 60 {(- 4)}^{2}$

단계 10.2.2.1.2

$15$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = 3840 - 60 {(- 4)}^{2}$

단계 10.2.2.1.3

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 4) = 3840 - 60 \cdot 16$

단계 10.2.2.1.4

$- 60$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = 3840 - 960$

단계 10.2.2.2

$3840$ 에서 $960$ 을 뺍니다.

$f' (- 4) = 2880$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $2880$ 입니다.

$2880$

단계 10.3

1차 도함수 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 의 $(- 2, 0)$ 구간에서 $- 1$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{2}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{2}$

단계 10.3.2.1.2

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 15 - 60 {(- 1)}^{2}$

단계 10.3.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 15 - 60 \cdot 1$

단계 10.3.2.1.4

$- 60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 15 - 60$

단계 10.3.2.2

$15$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - 45$

단계 10.3.2.3

최종 답은 $- 45$ 입니다.

$- 45$

단계 10.4

1차 도함수 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 의 $(0, 2)$ 구간에서 $1$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 60 {(1)}^{2}$

단계 10.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

단계 10.4.2.1.2

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 15 - 60 {(1)}^{2}$

단계 10.4.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 15 - 60 \cdot 1$

단계 10.4.2.1.4

$- 60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 15 - 60$

단계 10.4.2.2

$15$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - 45$

단계 10.4.2.3

최종 답은 $- 45$ 입니다.

$- 45$

단계 10.5

1차 도함수 $15 x^{4} - 60 x^{2}$ 의 $(2, \infty)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 60 {(4)}^{2}$

단계 10.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 60 {(4)}^{2}$

단계 10.5.2.1.2

$15$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 3840 - 60 {(4)}^{2}$

단계 10.5.2.1.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 3840 - 60 \cdot 16$

단계 10.5.2.1.4

$- 60$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 3840 - 960$

단계 10.5.2.2

$3840$ 에서 $960$ 을 뺍니다.

$f' (4) = 2880$

단계 10.5.2.3

최종 답은 $2880$ 입니다.

$2880$

단계 10.6

1차 도함수의 부호가 $x = - 2$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = - 2$ 은 극댓값입니다.

$x = - 2$ 은 극대값입니다

단계 10.7

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.8

1차 도함수의 부호가 $x = 2$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 2$ 은 극솟값입니다.

$x = 2$ 은 극소값입니다.

단계 10.9

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$ 에 대한 극값입니다.

$x = - 2$ 은 극대값입니다

$x = 2$ 은 극소값입니다.

$x = - 2$ 은 극대값입니다

$x = 2$ 은 극소값입니다.

단계 11