미적분 예제

$\arctan (- \frac{x}{2})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = - \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$- \frac{x}{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$- (\frac{x}{2})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.2.3

${(\frac{x}{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.3

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

단계 2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

단계 3.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

단계 3.3.3

$2$ 와 $\frac{x^{2}}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

단계 3.3.4

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.4.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

단계 3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

단계 3.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

단계 3.4.2

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

단계 3.4.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

단계 3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

단계 3.6

$\frac{2}{4 + x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$