미적분 예제

$y = e^{x} \cos (x^{2})$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \cos (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$e^{x} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{x} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) e^{x}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{x} x \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$

단계 5.2

$- 2 e^{x} x \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x e^{x} \sin (x^{2}) + e^{x} \cos (x^{2})$