미적분 예제

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ 을(를) ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.6.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

단계 4.6.3

합의 법칙에 의해 $1 + \tan^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

단계 4.6.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

단계 4.6.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

단계 4.7

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4.8

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4.8.2

$\tan (x)$ 와 $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 4.8.3

$\tan (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 4.8.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 4.8.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 4.9

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

단계 4.10

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\sec^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.11.2

항을 다시 배열합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.11.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.11.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.4.1

${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.4.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 4.11.4.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.4.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 4.11.4.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

단계 4.11.4.2

간단히 합니다.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

단계 4.11.5

$\sec^{2} (x)$ 및 $\sec (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.5.1

$\sec^{2} (x) \tan (x)$ 에서 $\sec (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

단계 4.11.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

단계 4.11.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

단계 4.11.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

단계 4.11.5.2.4

$\sec (x) \tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \sec (x) \tan (x)$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$